Задание решается методом интервалов:
1. (х² - 11)(15 - х²) ≥ 0
1) Находим нули
(х² - 11)(15 - х²) = 0
если
х = ±√15
х = ±√11
2) Отмечаем корни на координатной прямой (см. приложение)
Черными точками обозначаются числа, включающиеся в интервал, а белыми — исключающиеся из него.
3) Отмечаем знаки функций на координатной прямой (см. приложение)
Определяются методом подстановки чисел из интервала.
ответ: х ∍ [-√15;-√11] U [√11;√15]
Квадратные скобки говорят, что числа в них включаются в интервал, а круглые, что числа исключаются из него.
Остальное решается аналогично.
2. (х² - 6х + 5)(х + 8) > 0
(х² - 6х + 5)(х + 8) = 0
если
х = -8
…………………………(х² - 6х + 5)
…………………………D = 16
х = 5
х = 1
ответ: х ∍ (-8;1) U (5;+∞)
3. (х² - х + 11)(4 - х) ≥ 0
(х² - х + 11)(4 - х) = 0
если
х = 4
…………………………(х² - х + 11)
…………………………D = -43; D < 0
…………………………ветви параболы направлены вверх.
…………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;4]
4. (х² + 2х + 14)(х² - 9) > 0
(х² + 2х + 14)(х² - 9) = 0
если
х = ±3
……………………………(х² + 2х + 14)
……………………………D = -52; D < 0
……………………………ветви параболы направлены вверх
……………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;-3) U (3;+∞)
x⁵+8x⁴+24x³+35x²+28x+12=0
Следствие из теоремы Безу гласит: "если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена".
Тогда корень данного уравнения находится среди делителей числа 12, то есть: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
Подставляя значения в уравнения, получим, что x=-2 - корень уравнения.
Составим схему Горнера:
| 1 | 8 | 24 | 35 | 28 | 12 |
————————————
-2 | 1 | 6 | 12 | 11 | 6 | 0 |
Теперь можем разложить на множители исходное уравнение:
(x⁴+6x³+12x²+11x+6)(x+2)=0
Далее действия аналогичные:
Находим корень уравнения x⁴+6x³+12x²+11x+6=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6.
Подставляя значения в уравнение x⁴+6x³+12x²+11x+6=0, получим, что x=-2 - корень уравнения.
Составляем схему Горнера:
| 1 | 6 | 12 | 11 | 6 |
—————————
-2 | 1 | 4 | 4 | 3 | 0 |
Теперь получим такое уравнение:
(x³+4x²+4x+3)(x+2)²=0
Находим корень уравнения x³+4x²+4x+3=0 среди делителей его свободного члена: ±1; ±3.
Подставляя значения в уравнение x³+4x²+4x+3=0, получим, что x=-3 - корень уравнения.
Составляем схему Горнера:
| 1 | 4 | 4 | 3 |
———————
-2 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Получим такое уравнение:
(x²+x+1)(x+2)²(x+3)=0
x²+x+1=0 или (x+2)²=0 или x+3=0
∅ x=-2 x=-3
ответ: -3; -2.
