На плоскости даны три точки a, b и c, не лежащие на одной прямой. сколько существует точек mна этой плоскости, для которых выполняется равенство ma=mb=mc?

Думаю так:
1) Три точки А, В и С не лежат на одной прямой. Значит, в своей плоскости они образуют ΔАВС. 
2) Точка М равноудалена от вершин ΔАВС и находится с вершинами А,В и С в одной плоскости. Следовательно, М - центр описанной около ΔАВС окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого Δ.
3) Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Значит, точка М - единственная.
ответ: одна.