При каких значениях α векторы a=(α ; α+2) и b=(3+α ; 2) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
В соответствии с определением получаем:
α(3 + α) + 2(α + 2) = 0
α² + 3α + 2α + 4 = 0
α² + 5α + 4 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
α₁ + α₂ = -5
α₁·α₂ = 4
α₁ = -4
α₂ = -1
ответ: при α = -4; -1. 

Вектора перпендикулярны, если скалярное произведение равно нулю, т.е.


По т. Виета: