Число 155 разделить на три части так,чтобы полученные числа составляли прогрессию, при этом первый член был меньше третьего на 120

Обозначим слагаемые как a, aq, aq^2. По построению получилась геометрическая прогрессия. Осталось учесть, что:
1) сумма чисел равна 155: a (1 + q + q^2) = 155
2) первый член меньше третьего на 120: a(q^2 - 1) = 120

Из второго уравнения a = 120 / (q^2 - 1). Подставляем в первое уравнение:
120 (q^2 + q + 1) / (q^2 - 1) = 155
24 (q^2 + q + 1) = 31 (q^2 - 1)
24q^2 + 24q + 24 = 31q^2 - 31
7q^2 - 24q - 55 = 0

D/4 = 12^2 + 7 * 55 = 144 + 385 = 529 = 23^2
q = (12 +- 23)/7
q = -11/7 или q = 5

1) q = -11/7. a = 120 / (q^2 - 1) = 120 / (121/49 - 1) = 245/3
Получившиеся числа: 245/3, -385/3, 605/3
Если вас не смущает, что получились и отрицательные числа (это рависит от того, как понимать "разделение" из условия), то можно писать в ответ. Можно ограничиться и только вторым ответом, там и числа красивее.

2) q = 5. a = 120 / (q^2 - 1) = 120 / (25 - 1) = 5
Получившиеся числа: 5, 25, 125.

ответ. 5, 25, 125 [или 245/3, -385/3, 605/3, если это подпадает под ваше понимание условия].

A1;a1q;a1q²
{a1+a1q+a1q²=155⇒a1(1+q+q²)=155⇒a1=155/(1+q+q²)
a1q²-a1=120⇒a1(q²-1)=120⇒a1=120/(q²-1)
155/(1+q+q²)=120/(q²-1)
31/(1+q+q²)=24/(q²-1)
24(1+q+q²)=31(q²-1)
31q²-31-24-24q-24q²=0
7q²-24q-55=0
D=576+1540=2116
q1=(24-46)/14=-11/7
q2=(24+46)/14=5
a1=120:(121/49-1)=120:72/49=120*49/72=245/3=81 2/3
Последовательность 81 2/3;-128 1/3;+201 2/3
81 2/3-128 1/3+201 2/3=283 1/3-128 1/3=155
a1=120/(25-1)=120/24=5
Последовательность 5;25;125
5+25+125=155