Почему в неравенствах, таких как 5< 7, при умножении или делении обоих частей на -1 знак меняется на противоположный?

Потому что ты умножаешь каждую часть на отрицательное число. То же самое происходит, если умножить или поделить, например, 3 на -1
3*(-1)=-3
надеюсь, что

Возьмём равенство a=b, умножим его на -1, и получим -a=-b
Возьмём равенство a=b, поменяем a и b местами: 
1) a=b;
2) a-b=0 (перенесли b);
3) -b=-a (перенесли a);
Как видим получилось то же, что и при умножении на -1;

С неравенствами тоже самое:
возьмём неравенство 5<7, поменяем 5 и 7 местами:
1) 5<7;
2) 5-7<0 (перенесли 7);
3) -7<-5 (перенесли 5);
4) -7<-5 это то же самое, что и -5>-7.
Как видим знак поменялся на противоположный.
При умножении на -1 получится то же самое.