Если подынтегральная функция у = ln(2x+1), то неопределённый интеграл от этой функции равен:

 ∫ ln (2x + 1) dx 

Пусть u = 2x + 1, du = 2dx ==> du/2 = dx
1/2* ∫ lnu du

Проинтегрируем по частям 
∫ f dg = fg - ∫ g df , где 
f = ln u ,  dg = du
df = 1/u du, g = u 

Получим
= 1/2 u lnu - 1/2 ∫ 1 du = 
= 1/2 u ln u - u/2 + C

Обратная замена
1/2 *(2x + 1)* ln (2x + 1) - (2x + 1)/2 + C