При каких значениях параметра k неравенство х+k> 2sinx выполняется для всех положительных значений х?

По определению:
sinx ≤ 1
Для положительных x:
sinx < x

сложим два неравенства:

2sinx < 1 + x

Значит, при k=1 всегда выполняется неравенство для любых положительных x

Так же оно выполняется для любых k > 1

Рассмотрим остальные k:

1) k∈(-∞; -1), т.е. k = (-1 - l), l > 0, для x∈(0; l)
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х

2) k∈[-1; 0), тогда для x∈(0; |k|) 
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х

3) k∈[0;1), для x∈(k; 1)
sinx < k  - должно выполняться для любых x, всегда найдется х, что неравенство не выполнится

ответ: k∈[1;+∞)