Доказать, что из равенства 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c следует равенство 1/a³+1/b³+1/c³=1/a³+b³+c³.

Приведем к общему знаменателю:
(bc+ac+ab)/abc=1/(a+b+c)
(bc+ac+ab)*(a+b+c)=abc
(a+b)*(bc+ac+ab)+c*(bc+ac) +a*b*c=a*b*c
(a+b)*(bc+ac+ab)+c^2*(a+b)=0
(a+b)*(bc+ac+ab+c^2)=0
(a+b)*(b*(a+c) +c*(a+c))=0
(a+b)*(b+c)*(a+c)=0
То есть 3 варианта:
1)a=-b
2)b=-c
3)a=-c.
В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть первый вариант:
1/a^3+1/b^3+1/c^3= -1/b^3+1/b^3+1/c^3=1/c^3=1/(-b^3+b^3+c^3) =1/(a^3+b^3+c^3)-
Что и требовалось доказать.