Впроизвольном четырехугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам четырехугольника равна 0. единственна ли такая точка?

Обозначим четырехугольник ABCD, искомую точку - O.
Тогда по условию сумма векторов OA + OB + OC + OD = 0

Возьмем произвольную точку X в плоскости четырехугоьлника

Справедливы векторные равенства:

XA = XO + OA
XB = XO + OB
XC = XO + OC
XD = XO + OD

XA + XB + XC + XD = 4XO + OA + OB + OC + OD 

Отсюда следует:

XA + XB + XC + XD = 4XO

Тогда вектор XO = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда находится точка О
(берем любую точку X, строим XA, XB, XC, XD, находим XO, и откладываем его из точки X - попадаем в искомую точку О).

Положим существует точка O1 обладающая теми же свойствами

Тогда такими же рассуждениями получаем, что
XO1 = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда XO = XO1, но это значит что O = O1 (т.е. это та же самая точка, значит она единственна)