На плоскости отмечена 101 точка. докажите , что можно выбрать 11 отмеченных точек таким образом , чтобы никакие три из них не образовывали равносторонний треугольник.

 Докажем, что среди 300 отмеченных точек есть 3, которые не лежат на одной прямой. Заметим, что на одной прямой не может лежать больше 100 точек пересечения прямых. Пусть на какой-то прямой лежит хотя бы 101 точка пересечения прямых. Тогда для каждой из точек пересечения можно выбрать прямую, которая не проходит через другие точки пересечения и прямых получилось бы суммарно больше 100, что противоречит условию. 

Значит, какие-то три точки A,B,C не лежат на одной прямой. Если существует точка, не лежащая ни на одной из прямых AB, BC, AC, то выберем эту точку в качестве четвёртой искомой. Если остальные 297 точек лежат только на 3 указанных выше прямых, то на одной из прямых лежит не менее 101 точки, что противоречит тому, что на одной прямой не может лежать больше 100 точек пересечения. Значит, такой вариант невозможен и 4 искомые точки обязательно найдутся.