На крайней клетке дорожки длиной в 50 клеток стоит фишка. двое по очереди передвигают её вправо или влево на любое число клеток. длины ходов не должны повторяться. проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. кто выигрывает при правильной игре?

Выиграет первый. Покажем его план действий.

Первым ходом он отодвинет фишку в самый конец, тем самым сходив на 50 клеток. Затем каждый следующий ход он будет возвращать фишку обратно на последнюю клетку. Более того, длины его ходов никогда не повторятся - докажем это. Предположим обратное - пусть он повторит длину хода. Тогда он сходит из места, в которое ранее сходил второй игрок. Однако он сходил туда из позиции 50, то есть он сам повторил длину хода. Противоречие. Итак, так как длина ходов когда нибудь повторится, а это будет не случай первого, то второй проиграет.