Определите промежутки монотонности функции и точки экстремума y=5x^2+15x-1 ​

1) Разложить на множители:

3a+3a²-b-ab=(3a+3a²)+(-b-ab)=3a(1+a)+(-(b+ab))=3a(1+a)-(b+ab)=3a(1+a)-b(1+a)=(1+a)(3a-b)

 

2) Преобразуйте произведения (n²-n-1)(n²-n+1) в многочлен стандартного вида:

Для того чтобы данное выражение преобразовать в многочлен, необходимо перемножить обе скобки

(n²-n-1)(n²-n+1)=n⁴-n³+n²-n³+n²-n-n²+n-1

далее группируем (или приводим подобные члены)

n⁴+(-n³-n³)+(n²+n²-n²)+(-n+n)-1=n⁴-2n³+n²-1

 

3) Известно,что 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2).Найдите a²+b²

За основу берём выражение

2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)

поочерёдно раскрываем скобки

2(аb+a+b+1)=a²+ab+2a+ab+b²+2b

2ab+2a+2b+2=a²+ab+2a+ab+b²+2b

группируем правую половину уравнения

2ab+2a+2b+2=a²+(ab+ab)+2a+b²+2b

2ab+2a+2b+2=a²+2ab+2a+b²+2b

a²+b²=2ab+2a+2b+2-(2ab+2a+2b)

a²+b²=2ab+2a+2b+2-2ab-2a-2b

снова группируем

a²+b²=(2ab-2ab)+(2a-2a)+(2b-2b)+2

a²+b²=2

Task/26523239

Решите через систему √2x-x² +1 ≥  2x  - 3 .

√( 2x- x² +1) ≥  2x  - 3 .
ОДЗ  данного неравенства: 2x - x² +1 ≥ 0  ⇔ x² - 2x - 1 ≤  0 ⇔ 
x ∈ [ 1 - √2  ; 1 + √2 ] .
Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства. 
1.
Если  2x  - 3 < 0 ,то есть x < 1,5 , то все такие x из ОДЗ , удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x  ∈ [ 1 -√2  ; 1,5 ) − решения неравенства .
2.
Если  2x-3 ≥ 0 , то есть  x ≥ 1,5  ,а с учетом ОДЗ это означает,  что            1,5≤ x ≤  1 + √2 , иначе  x ∈ [ 1,5 ; 1+√2] ,то обе части неравенства неотрицательны.
Возведём обе части неравенства в квадрат: 
 2x- x² +1  ≥ ( 2x  - 3 )² ;
2x- x² +1  ≥ 4x²  - 12x  +9 ;
5x² -14x +8 ≤ 0 ;
Уравнение  5x² -14x +8 =0  имеет корни  x₁ =(7-3)/5 =4/5 и x₂=(7+3)/5=2
Значит, решением неравенства являются x∈ [ 0,8 ; 2].
С учётом  x ∈ [ 1,5 ; 1+√2]  получается, что на данном множестве решениями являются x ∈ [ 1,5 ; 2] . Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем  x  ∈ [ 1 -√2  ; 1,5 ) ∪ [ 1,5 ; 2] , т.е. x  ∈ [ 1 -√2  ; 2] .

ответ :  x  ∈ [ 1 -√2  ; 2] .
* * * * * * * * * * * *  P.S. * * * * * * * * * * * * 
Это решение можно записать другим
⇔ совокупности  двух систем неравенств 
[ {  2x  - 3 <  0  ;  2x - x² +1 ≥  0 .
[ { 2x  - 3 ≥ 0 ;  x² - 2x- 1 ≥ (2x  - 3)² .