Решите уравнение: 1) х⁴-50х²+49=0; 2)х⁴-5х²-36=0; 3)4х⁴-13х²+3=0; 4) 3х⁴+8х²-3=0. решите уравнение: 1)х²+8х/х+10=20/х+10; 2) 2х²-3х/х²-4=2х-2/х²-4; 3)5х+3/х+5=3х+1/х+2; 4) 1/х+3-1/х+5=1/4; ​

Уравнение 1) х⁴-50х²+49=0:
Давайте введем новую переменную, например, у = х². Тогда уравнение примет вид у²-50у+49=0. Решим это квадратное уравнение:

D = (-50)² - 4 * 1 * 49 = 2500 - 196 = 2304

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

у₁ = (-(-50) + sqrt(2304)) / (2 * 1) = (50 + 48) / 2 = 49
у₂ = (-(-50) - sqrt(2304)) / (2 * 1) = (50 - 48) / 2 = 1

Теперь мы знаем, что у = х². Подставим значения у в это равенство:

у₁ = х² → 49 = х²
у₂ = х² → 1 = х²

В первом уравнении корни будут х₁ = -7 и х₂ = 7. Во втором уравнении решений нет.

Ответ: х₁ = -7; х₂ = 7.

Уравнение 2) х⁴-5х²-36=0:
Опять же, введем новую переменную, пусть у = х². Тогда уравнение станет у² - 5у - 36 = 0. Решим это квадратное уравнение:

D = (-5)² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

у₁ = (5 + 13) / 2 = 9
у₂ = (5 - 13) / 2 = -4

Подставим эти значения у в уравнение у = х²:

у₁ = х² → 9 = х²
у₂ = х² → -4 = х²

В первом уравнении корни будут х₁ = -3 и х₂ = 3. Во втором уравнении решений нет.

Ответ: х₁ = -3; х₂ = 3.

Уравнение 3) 4х⁴-13х²+3=0:
Предлагаю здесь ввести новую переменную, скажем, у = х². Тогда уравнение примет вид 4у² - 13у + 3 = 0. Решим его:

D = (-13)² - 4 * 4 * 3 = 169 - 48 = 121

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

у₁ = (13 + 11) / 8 = 3/2 = 1,5
у₂ = (13 - 11) / 8 = 2/8 = 0,25

Теперь заметим, что у = х². Подставим значения у в это равенство:

у₁ = х² → 1,5 = х²
у₂ = х² → 0,25 = х²

В первом уравнении решений нет. Во втором уравнении будет одно решение х = 0,5.

Ответ: х = 0,5.

Уравнение 4) 3х⁴+8х²-3=0:
Снова введем новую переменную, допустим, у = х². Тогда уравнение станет 3у² + 8у - 3 = 0. Решим его:

D = 8² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

у₁ = (-8 + 10) / 6 = 2/6 = 1/3
у₂ = (-8 - 10) / 6 = -18/6 = -3

Заметим, что у = х². Подставим значения у в уравнение у = х²:

у₁ = х² → 1/3 = х²
у₂ = х² → -3 = х²

В первом уравнении будет два решения: х₁ = -sqrt(1/3) и х₂ = sqrt(1/3). Во втором уравнении решений нет.

Ответ: х₁ = -sqrt(1/3); х₂ = sqrt(1/3).

Уравнение 1) х²+8х/х+10=20/х+10:
Для начала приведем дроби к общему знаменателю. У нас в знаменателе обеих дробей стоит х+10, поэтому их можно привести к общему знаменателю, перемножив их:

(х²+8х)/(х+10) = (20)/(х+10)

Теперь умножим обе части уравнения на (х+10), чтобы избавиться от знаменателя:

(х²+8х) = 20

Раскроем скобки:

х²+8х = 20

Теперь приведем всё к одному виду, чтобы сделать уравнение квадратным:

х²+8х -20 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = 8² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

х₁ = (-8 + sqrt(144)) / (2 * 1) = (-8 + 12) / 2 = 2
х₂ = (-8 - sqrt(144)) / (2 * 1) = (-8 - 12) / 2 = -10

Ответ: х₁ = 2; х₂ = -10.

Уравнение 2) 2х²-3х/х²-4=2х-2/х²-4:
Также приведем дроби к общему знаменателю. Здесь общий знаменатель это х²-4. Умножим обе части уравнения на х²-4:

(2х²-3х) = (2х-2)

Раскроем скобки:

2х²-3х =2х-2

Теперь приведем всё к одному виду, чтобы сделать уравнение квадратным:

2х²-3х-2х+2 =0

Упростим выражение:

2х²-5х+2 =0

Решим это квадратное уравнение:

D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

х₁ = (-(-5) + sqrt(9)) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2
х₂ = (-(-5) - sqrt(9)) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2

Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1/2.

Уравнение 3) 5х+3/х+5=3х+1/х+2:
Как и в предыдущих случаях, приведем дроби к общему знаменателю, который является (х+5)(х+2):

(5х+3)/(х+5) = (3х+1)/(х+2)

Теперь умножим обе части уравнения на (х+5)(х+2), чтобы избавиться от знаменателя:

(5х+3)(х+2) = (3х+1)(х+5)

Раскроем скобки:

5х² + 13х + 6 = 3х² + 16х + 5

Упростим выражение:

2х² + 3х + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

х₁ = (-3 + sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 + 1) / 4 = -1/2
х₂ = (-3 - sqrt(1)) / (2 * 2) = (-3 - 1) / 4 = -1

Ответ: х₁ = -1/2; х₂ = -1.

Уравнение 4) 1/х+3-1/х+5=1/4:
Приведем дроби к общему знаменателю, который будет равен (х+3)(х+5):

(1)/(х+3) - (1)/(х+5) = (1)/(4)

Упростим выражение:

(х+5)/(х+3)(х+5) - (х+3)/(х+3)(х+5) = (х+3)/(4(х+3)(х+5))

(x + 5 - x - 3)/(x + 3)(x + 5) = (x + 3)/(4(x + 3)(x + 5))

2/(x + 3)(x + 5) = (x + 3)/(4(x + 3)(x + 5))

Умножим обе части уравнения на 4(x + 3)(x + 5), чтобы избавиться от знаменателя:

8 = (x + 3)²

Раскроем скобку:

8 = x² + 6x + 9

Перенесем все члены влево:

x² + 6x + 9 - 8 = 0

Упростим выражение:

x² + 6x + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = 6² - 4 * 1 * 1 = 36 - 4 = 32

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

x₁ = (-6 + sqrt(32)) / 2 = (-6 + 4√2) / 2 = -3 + 2√2
x₂ = (-6 - sqrt(32)) / 2 = (-6 - 4√2) / 2 = -3 - 2√2

Ответ: x₁ = -3 + 2√2; x₂ = -3 - 2√2.