Умоляю докажите, что n^3-n кратно 3 при всех натуральных n

Решение:
Вынесем n за скобки. Получим:

А выражение в скобках раскроем как разность квадратов:

И теперь возможны три случая:
1) Пусть n = 3k, где k - целое число (иначе говоря, делится на 3). Тогда,

2) Пусть n = 3k + 1, где k - целое число (делится на 3 с остатком 1)
Тогда,
. И это число делится на 3.
3) Пусть n = 3k + 2 (с теми же условиями, что и выше, только число делится на 3 с остатком 2).
Тогда,
. И это число тоже делится на 3.

Таким образом, и выражение n^3-n тоже делится на 3 без остатка.