Сумма первых трех членов прогрессии равна 91. если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. найдите седьмой член исходной прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Пусть q - знаменатель геометрической прогрессии, d - шаг арифметической прогрессии. - члены геометрической прогрессии, - члены арифметической прогрессии.
По условию:

Составим члены арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии отличается на d (шаг прогрессии):


Получили ещё одно уравнение. Запишем их вместе:


Разделим одно на другое почленно:


Найдём первый член геометрической прогрессии:


Находим 7-й член геометрической прогрессии:


Одно решение отпадает, т.к. 7-й член по условию д.б. меньше 1000

ответ: 7/81

Пусть () - геометрическая прогрессия со знаменателем q
Сумма трёх членов
b₁ + b₂ + b₃ = 91   ⇒    b₁ + b₁q + b₁q² = 91

Пусть () - арифметическая прогрессия с разностью  d
a₁ = b₁+25;   a₂ = b₁q + 27;  a₃ = b₁q² + 1
a₁ + a₂ + a₃ = b₁+25 + b₁q + 27 + b₁q² + 1 =
            = b₁ + b₁q + b₁q² + 53 = 91 + 53 =144
Так как в арифметической прогрессии  a₁ = a₂ - d;  a₃ = a₂ + d   ⇒
a₁ + a₂ + a₃ = 144    ⇔  (a₂-d) + a₂ + (a₂+d) = 144   ⇒
3a₂ = 144;     a₂ = 48;      b₁q + 27 = 48  ⇒   b₁q = 21

b₁q = 21
b₁ + b₁q + b₁q² = 91   ⇔   b₁ + 21 + 21q = 91    ⇒   
b₁ = 70 - 21q = 7(10 - 3q)
b₁q = 21   ⇔  7(10 - 3q)*q = 21 ⇔   (10 - 3q)q = 3  ⇔ 10q - 3q² = 3
3q² - 10q + 3 = 0
D/4 = (10/2)² - 3*3 = 16 = 4²
1) q₁ = (10/2 - 4)/3 = 1/3  ⇒    b₁ = 21/q = 21/(1/3) = 63
                                           b₇ = b₁*q⁶ = 63*(1/3)⁶ = 7/81
2) q₂ = (10/2 + 4)/3 = 3    ⇒   b₁=21/q = 21/3 = 7
                                           b₇ = b₁*q⁶ = 7*3⁶ = 5103

Так как по условию  b₇ < 1000, то ответ b₇ = 7/81