Sin^2(a+b)-sin^2(a-b)=sin2a*sin2b решить : ((

Выясним вид и расположение графика функции y=-x²+4 относительно начала координат.
График - парабола. Поскольку коэффициент перед х² отрицательный, то она располагается ветвями вниз, следовательно большинство её значений отрицательны.
Далее, y(-x) = -(-x)²+4 = -x²+4 = y(x), следовательно, функция четная и её график будет симметричен относительно оси Y
Чтобы узнать, принимает ли функция неотрицательные значения, приравняем y нулю. Мы получим уравнение -х²+4=0. Если существуют действительные корни этого уравнения, то они будут точками, в которых график функции пересекает ось Х, а при значениях х, находящихся между этими корнями функция будет положительной.
-х²+4=0; х²=4 → х=√4
Корнями будут х₁=-2, х₂=2
Итак, график функции - парабола, направленная ветвями вниз, симметричная относительно оси Y и пресекающая ось Х в точках -2 и 2.
В силу симметрии этих точек и характера функции мы можем утверждать, что её максимум достигается в точке х = (-2+2)/2 = 0.
Значение максимума у(0) равно -0²+4 = 4.
Понятно, что функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями, т.е. x<-2 и x>2.
В другой форме записи x ∈ (-∞;-2) ∪ x ∈ (2;∞)

График функции дан во вложении.

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x), Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x). Для того, чтобы данное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dP/dy=dQ/dx. В нашем случае dP/dy=1/y-10*y*sin(5*x), dQ/dx=1/y-10*y*sin(5*x), т.е. dP/dy=dQ/dx, поэтому данное уравнения есть уравнение в полных дифференциалах. Но тогда справедлива система уравнений:

P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x)=du/dx
Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x)=du/dy,

где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y).

Интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). А так как du/dy=Q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=C1, где С1 - произвольная постоянная. Значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+C1. Но так по условию du=0, то u=const=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C, где C=C2-C1. Это и есть решение данного уравнения. ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C.