Производная по определению - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Δy = f(x+Δx) - f(x) = √(1+2(x+Δx)) - √(1+2x) = √(1+2x+2Δx) - √(1+2x)
Преобразуем выражение, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
(√(1+2x+2Δx) - √(1+2x))(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = (1+2x+2Δx - 1 -2x)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))= (2Δx)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))
Δy/Δx = 2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))
limΔx->0 (2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = 2/(√(1+2x) + √(1+2x)) = 2/(2√(1+2x) = 1/√(1+2x)
ответ: y' = 1/√(1+2x)
Выносим х с коэффициентом за скобку
2х(х-1/2)=0 делим на коэффициент
Х(х-1/2)=0 это корни уравненя
На оси х на мечаем те значения х когда уравнение равно 0. Х=0; х=1/2 это и есть ответ.
Если был бы знак больше или меньше, при деление на коэффициент надо смотреть отрицательный ли он если да то > становится < и наоборот и тогда рисуется параболла с корнями и смотрим где значения функции < или > оси х и записываем этот промежуток учитывая стоит ≤ или < далее это легко запоминается и делается в уме без всякой рисовки
