Сумма различных корней уравнения sin3x × sin7x=sinx × sin9x из интервала (-0,25пи; 0,5пи) равна

Sin7x*sin3x = sin9x*sinx  ,  x∈ (-0,25π ;0,5π) .

(cos(7x-3x) - cos(7x+3x))/2 = ((cos(9x -x) - cos(9x+x))/2 ;
cos4x = cos8x ;
cos8x - cos4x = 0 ;
-2sin(8x - 4x)/2 *sin(8x+4x)/2 =0 ;
[ sin2x =0 ; sin6x=0.⇔[ 2x =πn ; 6x =πn , n∈Z. ⇔[ x =πn/2 ;x =πn/6 , n∈Z. 

x =πn/6  ,  n∈Z. _общее  решения. 
По условию  - 0,25π < x < 0,5π ⇔ - 0,25π <πn/6<0,5π ⇔ - 1,5 < n < 3
⇒ n = { -1; 0 ; 1; 2}  , т.е.   4 различные корни.

Сумма  различных  корней  уравнения   sin3x × sin7x=sinx × sin9x 
из интервала (-0,25π ; 0,5π ) равна : π*(-1)/6 +π*0/6 +π*1/6 + π*2/6 = π/3.