N(в кубе)+5n доказать что делится на 6 - вопрос №444326356 от molokomo 23.05.2020 18:10

Question

Алгебра: N(в кубе)+5n доказать что делится на 6

molokomo · Answer

N по делимости на 3 может быть трех видов:
$n=3k \\\\
n=3k+1 \\\\
n=3k+2 \\\\
k \in Z

$
во всех случаях

1.
(3k)^3+5*3k=27k^3+15k=3k(9k^2+5)

если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то (9k^2+5)

делится на 2, и значит все произведение делится на 6.

2.
$(3k+1)^3+5*(3k+1)= \\\\
=27k^3+27k^2+9k+1+15k+5= \\\\
=27k^3+27k^2+24k+6= \\\\
=3k(9k^2+9k+8)+6$
если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то

делится на 2, и значит все произведение делится на 6, ну и сумма тоже.

3.
$(3k+2)^3+5*(3k+2)= \\\\
=27k^3+54k^2+36k+8+15k+10= \\\\
=27k^3+54k^2+51k+18= \\\\
=3k(9k^2+18k+17)+18$
если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то

делится на 2, и значит все произведение делится на 6, ну и сумма тоже.

n^3+5n

делится на 6 во всех случаях, что и требовалось доказать.