6x^4+5x^3(куб)-38x^2(квадрат)+5x+6=0

Делим на x^2:
6(x^2 + 1/x^2) + 5(x + 1/x) - 38 = 0

так как (x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2, то после замены x + 1/x = t получаем квадратное уравнение:
6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0
6t^2 + 5t - 50 = 0
D = 25 + 4*6*50 = 1225 = 35^2
t = (-5 +- 35)/12
t1 = -10/3; t2 = 5/2

x + 1/x = -10/3
3x^2 + 10x + 3 = 0
D/4 = 25 - 9 = 16 = 4^2
x = (-5 +- 4)/3
x1 = -3; x2 = -1/3

x + 1/x = 5/2
2x^2 - 5x + 2 = 0
D = 25 - 16 = 9 = 3^2
x = (5 +- 3)/4
x3 = 2; x4 = 1/2

ответ. -3; -1/3; 2; 1/2

6x⁴+5x³-38x²+5x+6=0
6x⁴-12x³+17x³-34x²-4x²+8x-3x+6=0
6x³(x-2)+17x²(x-2)-4x(x-2)-3(x-2)=0
(x-2)(6x³+17x²-4x-3)=0 - x₁=2 - первый корень

6x³+17x²-4x-3=0
6x³+18x²-x²-3x-x-3=0
6x²(x+3)-x(x+3)-(x+3)=0
(x+3)(6x²-x-1)=0 - x₂=-3 - второй корень

6x²-x-1=0
6x²-3x+2x-1=0
3x(2x-1)+(2x-1)=0
(2x-1)(3x+1)=0
2x-1=0 <=> x₃=1/2
3x+1=0 <=> x₄=-1/3

ответ: корни уравнения: 2, -3, 1/2, -1/3