Решить уравнение: 3tgx=2корень5cos(x/2)

3tg x = 2√5*cos(x/2)
3sin x/cos x = 2√5*cos(x/2)
ОДЗ: cos x ≠ 0; x ≠ pi/2 + pi*n
6sin(x/2)*cos(x/2) / cos x = 2√5*cos(x/2)
1) cos(x/2) = 0; x/2 = pi/2 + pi*k;
x1 = pi + 2pi*k
2) Если cos(x/2) ≠ 0, то разделим на него и на 2
3sin(x/2) / cos x = √5
3sin(x/2) = √5*cos x = √5*(1 - 2sin^2 (x/2))
2√5*sin^2 (x/2) + 3sin(x/2) - √5 = 0
Квадратное уравнение относительно sin(x/2)
D = 3^2 - 4*2√5*(-√5) = 9 + 4*2*5 = 49 = 7^2
sin(x/2) = (-3 - 7)/(4√5) = -10/(4√5) = -2√5/4 = -√5/2 < -1 - не подходит
sin(x/2) = (-3 + 7)/(4√5) = 4/(4√5) = 1/√5
x2 = 2arcsin(1/√5) + 4pi*m
x3 = 2(pi - arcsin(1/√5)) + 4pi*m

Замечу, что если sin(x/2) = 1/√5, то cos x = 1 - 2sin^2(x/2) = 1 - 2*1/5 = 3/5
Так что мой ответ совпадает с ответом Tolusb, но получен другим

 Пусть 

Находим ОДЗ
  
После нахождения ОДЗ имеем уравнение без модулей


Корень t=-1.5 не удовлетворяет условие при |t|≤1, или ОДЗ

Возвращаемся к замене