Найдите наименьшее значение функции y= (x-3)^2 * (x-6) - вопрос №406185832654 от олтисьл 13.10.2021 03:14

Question

Алгебра: Найдите наименьшее значение функции y= (x-3)^2 * (x-6) - 5 на отрезке [4; 10]

олтисьл · Answer

1) Раскроем скобки для удобства нахождения производной функции.
$y=(x-3)^2(x-6)-5 \\ y=(x^2-6x+9)(x-6)-5=x^3-6x^2-6x^2+36x+9x-54-5= \\ =x^3-12x^2+45x-59$

2) Найдём производную функции.
$y'=(x^3-12x^2+45x-59)'=(x^3)'-(12x^2)'+(45x)'-(59)'= \\ =3x^2-24x+45$

3) Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы (те точки, при которых производная обращается в ноль).

$3x^2-24x+45=0|:3 \\ x^2-8x+15=0 \\ (x-3)(x-5)=0 \\ x=3,x=5$
4) Смотрим наш промежуток:

∈

.
Смотрим на наши корни x=3

и

.
Точка

не попадает в промежуток. Значит остается только одна точка-экстремум x=5

5) Теперь находим значения функции в данных нам ( 4,10

)и найденной нами (

) точках. То есть подставляем их в исходную функцию.
$y(4)=(4-3)^2(4-6)-5=1*(-2)-5=-2-5=-7 \\ y(5)=(5-3)^2(5-6)-5=4*(-1)-5=-4-5=-9 \\ y(10)=(10-3)^2(10-6)-5=49*4-5=196-5=191$

6) Нас просили найти наименьшее значение функции. Смотрим, какое из найденных значений

у нас наименьшее. Это

ответ: