Скажите мне формулу суммы ряда степеней числа. например - вопрос №37470931212223 от nastja2011i 09.09.2022 02:33

Question

Алгебра: Скажите мне формулу суммы ряда степеней числа. например 1+2^1+2^2+2^3+..+2^n, мне нужно найти сумму предположим 1+2^1+2^2+2^3++2^25. и вывод , если можно. (знак ^ - означает возведение в степень). лучше, конечно, в общем виде. типа 1+n+n^2+n^3+..n^k - сумму.

nastja2011i · Answer

Вообще-то это обычная тема из учебника, называется "Сумма геометрической прогрессии". Вывод оень простой: раскрываем скобки в выражении:
$(1-n)(1+n+n^2+\ldots+n^{k-1})=\\
=(1-n)+(n-n^2)+(n^2-n^3)+\ldots+(n^{k-1}-n^k)=\\
=1-n^k$ .
Видим, что все слагаемые кроме первого и последнего сокращаются. Поэтому
$1+n+n^2+n^3+\ldots+n^{k-1}=\frac{1-n^k}{1-n}$ . В таком виде и рекомендую запоминать. У вас сумма там до k, но, надеюсь понятно, как изменится ответ.
P.S. Все это верно, если конечно $n\neq1$ , и k - натуральное. Если n=1, то такую сумму посчитать тоже нет проблем.