150+75 пунктов. провести полное исследование функции и построить её экскиз. п.с. меня в большей степени интересует макет решения таких , т.е. принцип их решения отмечу лучшим, полностью выполненное

Это сумма двух графиков
парабола и гипербола
график неопределен при х=0 и имеет асимптоту х=0
1) ОДЗ - вся числовая ось кроме х=0
2) производная
y`=32x-243/x^4=32x(1-243/32x^5)=32x*(1-(3/(2x))^5)
y`=0 при 3/(2x)=1
при х=3/2 - локальный экстремум
при х<0 y`<0 - функция убывает
при 0<x<3/2 y`<0 - функция убывает
при 3/2<x y`>0 - функция возрастает
3)график смотри во вложении
можно еще искать точки перегибов - точки где вторая производная меняет знак