На доске написано число 6. разрешается дописать число равное квадрату уже написанного числа или равное сумме двух любых уже написанных. может ли сумма всех чисел, написанных на доске, стать равной 2013?

Изначальное число 6 -четное, квадрат четного числа - четное число, сумма двух четных - число четное, т.е. при любых допустимых манипуляциях с числами у нас на доске будут только четные числа.
число 2013 - число нечетное -- оно не может равняться конечной сумме четных чисел(четному числу)
поэтому ответ нет, не может