Решить : гипотенуза прямоугольного треугольника - вопрос №2805550 от KotyaSuper11 19.11.2021 16:39

Question

Алгебра: Решить : гипотенуза прямоугольного треугольника равна м. определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на %, а другой на %, то сумма их длин сделается равной 14м.

KotyaSuper11 · Answer

Пусть изначально был прямоугольный треугольник с катетами

,

и
гипотенузой $3 \sqrt{5}$ .Тогда для этого треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^{2} + b^{2} =45$ .Далее,после того как катеты увеличили,
получили, что их сумма - 14: $a+ (\frac{400}{3} a)/100+b+ (\frac{50}{3} b)/100=14.$ Преобразуем это выражение: $a+ \frac{4}{3} a+b+ \frac{1}{6} b=14, 14a+7b=84, 2a+b=12.$ .Вместе с предыдущим равенством,получаем систему:
$\left \{ {{2a+b=12}, \atop { a^{2}+ b^{2} =45 }} \right. ; \left \{ {{b=12-2a}, \atop {a^{2}+ (12-2a)^{2}=45 }} \right. ; \left \{ {{b=12-2a} \atop {5 a^{2}-48a+99=0 }} \right. ; \left \{ {{a=3} \atop {b=6}} \right.$ (Второй корень не подходит, так как тогда b<0).Непосредственной проверкой можно убедиться,что данная пара чисел подходит.
ответ: (3;6).