В решении.
Объяснение:
у = 32/(2 - х)² - (2 + х)²
Область определения - это значения х, при которых функция существует, обозначение D(f) или D(y).
Данная функция существует, если её знаменатель больше нуля (известно, что на ноль делить нельзя, и дробь в этом случае не имеет смысла).
Поэтому вычислить область определения через неравенство:
(2 - х)² - (2 + х)² > 0
Раскрыть скобки:
4 - 4х + х² - (4 + 4х + х²) > 0
4 - 4х + х² - 4 - 4х - х² > 0
-8х > 0
8х < 0
x < 0.
Решение неравенства х∈(-∞; 0).
Область определения функции D(y) = (-∞; 0).
То есть, функция существует при всех значениях х от - бесконечности до х = 0.
Достаточно показать, что выражение в числителе 6ⁿ + 20n + 24 при любом натуральном n кратно 25. Тогда дробь есть целое число. Докажем индукцией по n. При n = 1 выражение 6ⁿ + 20n + 24 = 50 = 2*25. Пусть это выражение кратно 25 при произвольном n. Покажем, что тогда и выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25. 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 = 6*6ⁿ + 20n +20 + 24 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5*6ⁿ + 20 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5(6ⁿ + 4). Число 6ⁿ + 4 оканчивается нулём, поэтому кратно 5, значит выражение 5(6ⁿ + 4) = 25k кратно 25. Член суммы 6ⁿ + 20n + 24 кратен 25 по предположению индукции, значит всё выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25, отсюда следует кратность 25 выражения 6ⁿ + 20n + 24, а значит дробь 2021*(6ⁿ + 20n + 24)/25 есть целое число.
