Длины двух сторон остроугольного треугольника равны (корень из 10) и (корень из 13). найти длину третьей стороны, если она равна длине проведенной к ней высоты.

Пусть высота делит неизвестную сторону c на отрезки длин x и (c - x).
Записываем теорему Пифагора для двух образовавшихся прямоугольных треугольников:

c^2 + x^2 = 10
c^2 + (c - x)^2 = 13

c^2 + x^2 = 10
2c^2 - 2cx + x^2 = 13

Домножим первое на 13, второе на 10 и вычтем из второго первое:
7c^2 - 20cx - 3x^2 = 0

Делим на x^2, обозначаем (c / x) = t > 1:
7t^2 - 20t - 3 = 0
D/4 = 100 + 21 = 121 = 11^2
t = (10 + 11)/7 = 21 / 7 = 3

x = c/3

c^2 + c^2 / 9 = 10
c^2 = 9
c = 3

ответ. 3