Найдите площадь фигуры ограниченной параболой у=3х-х^2 и касательной ,проведенной к этой параболе в точке х=3,а так же осью ординат

Вначале нужно найти уравнение касательной.
Y=y(a) + y '(a)*(x - a), a=3
y(a) = 3a - a^2, y(3) = 9 - 9 = 0
y '(a) = 3 - 2a, y'(3) = 3 - 6 = -3
Y = -3*(x - 3) = -3x + 9 - касательная к графику.
Начертим три графика: две прямые и парабола.
Парабола: ветви вниз (т.к. коэфф. при квадрате отрицательный, = -1), точки пересечения с осью Ох: x=0, x=3. Ось симметрии проходит через точку x=1.5.
Y пересекает ось Оу в точке: (0; 9)
Площадь закрашенной фигуры - это интеграл в пределах от 0 до 3:
интеграл(Y - y)dx = интеграл(-3x + 9 - 3x + x^2)dx = интеграл(x^2 - 6x+ 9)dx = (x^3)/3 - 3x^2 + 9x = 27/3 - 3*9 + 9*3 - 0 = 9 - 27 + 27 = 9
ответ: площадь фигуры S=9