Доказать, что сумма кубов первых "n" натуральных чисел равна " (n²(n+1)²)/4

Методом математический индукции. 

База индукции
n=1
 
-выполняется

Гипотеза индукции Пусть для n=k, утверждение верно, т.ею

Индукционный переход, докажем, что тогда верно утвеждение при n=k+1, т.е.

используем гипотезу

выносим общий множитель

к общем знаменателю

используем формулу квадрата двучлена

что и требовалось доказать.

По принципу математеческой индукции утверждение верно

1³ = 1², 1³ + 2³ = 3², 1³ + 2³ + 3³ = 6², 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10², ...
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n + 1)/2]²,
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4