На доске были написаны целые числа от -100 до 100. разрешается производить следующую операцию: стереть какие-то два числа на доске, а на их место записать их сумму, уменьшенную на 1. какое число останется на доске после 200 таких операций?

То есть по сути пусть есть каике то определенные числа  из набора множеств от -100 до 100 , то нужно найти . Очевидно что если мы будет брать крайние числа , по закону перемещения ничего не изменится , можно даже решить ослабленную версию такой задачи где требуется найти сумму  из множество чисел от 1 до 25 и.т.д . 
Сумма крайних  уже 100 операций проделано , теперь осталось 100  
 
С учетом 50 пар получаем еще такой ряд 
 50 раз , следовательно 50 операций 
в итоге остановиться -200  так как 
-101*50+101*50-200=-200