При каком целом k неравенство x^2 + 2(4k-1)x + 15k^2 - 2k - 7 > 0 верно при любом действительном x?

Слева в неравенстве квадратный трехчлен --- парабола, ветви вверх...
график параболы с ветвями вверх всегда > 0 только в случае, когда у параболы НЕТ корней, т.е. дискриминант < 0
запишем выражение для дискриминанта...
4(4k-1)^2 - 4(15k^2 - 2k - 7) < 0
64k^2 - 32k + 4 - 60k^2 + 8k + 28 < 0
k^2 - 6k + 8 < 0
по т.Виета корни здесь 2 и 4, решение между корнями...
т.к. k должно быть целым, ответ 3

Ищи дискриминант и ставь условие, что он должен быть больше или равен нулю.
И решаешь неравенство относительно k.
Надеюсь, стало понятней. Удачи!