6. Решите систему неравенств: − 5x+11 » X² ≤ 64 {x² xả

Для розв'язання даної системи нерівностей, розглянемо їх окремо.

-5x + 11 > x²
Спочатку перепишемо цю нерівність у квадратному рівнянні:

x² + 5x - 11 < 0

Тепер ми можемо знайти корені цього квадратного рівняння, встановити знак нерівності та знайти інтервали, на яких нерівність виконується. Використовуючи формулу дискримінанту, отримуємо:

D = (5)² - 4 * 1 * (-11) = 25 + 44 = 69

Оскільки дискримінант D більше нуля, то рівняння має два різних корені.

x₁ = (-5 + √69) / 2 ≈ 1.77
x₂ = (-5 - √69) / 2 ≈ -6.77

Тепер перевіримо значення між цими коренями та поза ними. Для цього можна взяти пробні значення з кожного інтервалу.

Візьмемо x = 0, яке знаходиться між -6.77 і 1.77:

0² + 5 * 0 - 11 < 0
-11 < 0

Отже, рівняння виконується для значень x, що належать проміжку (-6.77, 1.77).

x² ≤ 64
Ця нерівність означає, що квадрат x повинен бути меншим або рівним 64. Для цього знайдемо корені цього квадратного рівняння:

x₁ = √64 = 8
x₂ = -√64 = -8

Таким чином, рівняння виконується для значень x, що належать інтервалу [-8, 8].

Остаточно, розв'язком системи нерівностей є об'єднання інтервалів (-6.77, 1.77) та [-8, 8].