Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению x² − y² + 2x = 5.

Малая диагональ делит ромб на два треугольника
так как она равна стороне ромба делаем вывод, что сформированные треугольники равностороннии
вторая диагональ образует с первой угол в 90 градусов и делит малую диагональ пополам по определению
делаем вывод сформированные треугольники прямоугольные и имеют катет равный половине гипотенузы.
можем воспользоваться формулой а²+b²=c² где с-гипотенуза

пусть а=9√3
тогда а²=(9√3)², b²=(1/2с)²

подставив в формулу имеем уравнение с одной неизвестной
 (9√3)²+ (1/2с)² =с² 
(√81*√3)²+ (1/2с)² =(√81*3)² +(1/2)²*с² =243+1/4с²=с²
                                                                 
или с²-1/4с²=243
отсюда 3/4с²=243; с²=243/(3/4)=324; с=√324=18см
так мы нашли сторону ромба

периметер равен 18*4=72см

Все решение сводится к использованию формулы

sin (2α) = 2 sin α · cos α

4cos(x) · cos(2x) · cos(4x) = sin(8x)

4cos(x) · cos(2x) · cos(4x) - 2sin(4x) · cos(4x) = 0

2cos(4x) · (2cos(x) · cos(2x) - sin(4x)) = 0

2cos(4x) · (2cos(x) · cos(2x) - 2sin(2x) · cos(2x)) = 0

4cos(4x) · cos(2x) · (cos(x) - sin(2x)) = 0

4cos(4x) · cos(2x) · (cos(x) - 2sin(x) · cos(x)) = 0

4cos(4x) · cos(2x) · cos(x) · (1 - 2sin(x)) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) cos (4x) = 0

  4x = π/2 + πn

  x₁ = π/8 + πn/4,   n∈Z

2) cos(2x) = 0

  2x = π/2 + πk

  x₂ = π/4 + πk/2,   k∈Z

3) cos(x) = 0

  x₃ = π/2 + πm,   m∈Z

4) 1 - 2sin(x) = 0

   sin(x) = 1/2

  x₄ = π/6 + 2πp,   p∈Z

  x₅ = 5π/6 + 2πq,   q∈Z