* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Найдите площадь фигуры с ограниченной линиями
y= -x² + 4 , y=-x +2 , x=-1 , x=1 (постройте график)
ответ: 3,5 .
Объяснение:
S = ₋₁ ¹∫( (-x² + 4) -( -x +2) ) dx =₋₁ ¹∫ (-x² +x+2) dx =(- x³/3 +x²/2+2x) |₋₁ ¹=
= (- 1³/3 +1²/2+2*1 ) - (-(- 1)³/3 +(-1)²/2+2*(-1) )= (-1/3 +1/2 +2) -(1/3+1/2 -2) =3,5 .
* * *(5/2 -1/3) -(5/6 -2)= 14/6 -5/6+ 2 =9/6 +2 =3/2+2 =1,5+2=3,5* * *
P.S. y = -x² + 4 → график парабола с вершиной в точке A(0 ;4) ,ветви направлены вниз (по отриц. напр. оси ординат (оси у) , с осью абсцисс
(оси x) пересекается в точках B₁(-2 ; 0) и B₂(2 ;0) .
y= -x +2 → график прямая линия проходящей например через точек
P₁(-1; 3) ; B₂(2 ;0) .
* * * абсциссы точек пересечения графиков y= -x² + 4 , y=-x +2:
-x² + 4 = -x +2 ⇔ x² -x -2 =0 ⇒x₁ = -1 , x₂ = 2 * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Найдите площадь фигуры с ограниченной линиями
y=x³ , y =1 , x= 2 (постройте график)
ответ: 2,75 кв. ед.
Объяснение:
Найдем точки пересечения графиков функций y=x³ и y=1 :
1 = x³ ⇒ x =1 (1 ; 1) * * * a =1 * * *
* * *x³ -1 =0 ⇔(x -1)(x²+x+1) =0 ⇔[ x -1=0 ; x²+x+1 =0 .⇒ x=1. * * * * * * x²+x+1 =0 не имеет действительных корней * * *
-----------------------------------------------------------
Построить схематический график нечетной функции y = x³ нетрудно (кубическая парабола).
y =1 → линия параллельная оси абсцисс ( x)
x=2 → линия параллельная оси ординат (y)
-----------------------------------------------------------
S = ₁ ∫² (x³ -1 )dx ( пределы интегрирования: a=1 нижний , b=2 верхний)
* * * Формула Ньютона – Лейбница * * *
S = ( x⁴ /4 -x ) | ₁ ² = (2⁴ /4 -2) - (1⁴ /4 -1) = 2 +3/4 =2,75 (кв. ед.)
