Выполнить действия: 1) 72 – 23 + 16:23; 2) 48 +2.32 – 15; 3) 13+2.52-(5 +48 : 23).
Разложить на множители:
1) 15х3у3 – 20x"у; 2) – 36a5bc2 + 48b2c3; 3) 81x?у? – 3622;
4) 100a4 – 6466; 5) 27x® +8y°;
6) 8а12 - 125b3;
7) m4 – 125т;
8) 27n + п;
9) 4х2 – 32xy + 64у2.
Выполнить умножение:
1) 13a3b7. 2ab2;
2) 25x®y - 3xy”; 3) (2x® - у) (у + 2x®).
.

Все натуральные числа представимы в одном из видов 5k, 5k +-1, 5k + 2, тогда квадраты дают остатки 0, 1 и 4 при делении на 5. 65 делится на 5, тогда, чтобы получился полный квадрат, необходимо, чтобы 2^n давало остаток 0, 1 или 4 при делении на 5.

Вычисляем остатки от деления на 5 степеней двойки:
2^1 = 2 = 2 (mod 5) — неподходящий остаток
2^2 = 4 = 4 (mod 5)
2^3 = 8 = 3 (mod 5) — неподходящий остаток
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
2^5 = 32 = 2 (mod 5) — такой же остаток, что и у 2^1,
...

Так как остаток при делении степени на 5 зависит только от остатка при делении на 5 предыдущей степени, то из того, что 2^1 и 2^5 дают одинаковые остатки, следует, что последовательность остатков периодична с периодом 4. Значит, так как при показателях, меньших 5, подходили только степени с чёётным показателем, то можно сделать вывод, что n чётно, n = 2m.

2^(2m) + 65 = k^2
k^2 - (2^m)^2 = 65
(k + 2^m)(k - 2^m) = 65

65 можно разложить на два множителя следующими Получаем два возможных варианта:

1) k + 2^m = 65, k - 2^m = 1
Вычитаем из первого уравнения второе, получаем 2 * 2^m = 64, m = 5, n = 10 (тогда 2^10 + 65 = 1089 = 33^2)

2) k + 2^m = 13, k - 2^m = 5
2 * 2^m = 8
m = 2
n = 4 (в этом случае 2^n + 65 = 81 = 9^2).

ответ. при n = 4 и n = 10.

Так как каждый кубик может быть одного из двух цветов, то количевство возможных башен будет 2*2*2*2*2=32

А малышей 45, значит среди этих башен найдутся две одинаковые (32 разные, 33 -я по любому совпадет с одной из 32 башен)

Доказано

 

\\Обозначим цвета К и С

Тогда возможные варианты построения башень, начиная с нижнего

1

С

КККСК

ККСКК

КСККК

С

5

КККCC

ККССК

КССКК

ССККК

4

СКККС

СКСКК

СККСК

КСКСК

КСККС

ККСКС

6

СССКК

КСССК

ККССС

3

ССКСК

ССККС

КССКС

СКССК

СККСС

КСКСС

6

СКСКС

1

К

К

2

СССКС

СКССС

2

ССКСС

1

1

1+5+4+6+3+6+1+2+2+1+1=32 \\\