Спростіть вираз 4√12+3√27 - 4 √75

x+y=4                   x^2 - y^2 = 8

y = 4 - x    Подставляем             x^2 - (4-x)^2 = 8

y = 4- x           Подносим к степени. Присутствует форма сокращенного умножения.                                  x^2 - (16 - 8х + x^2) = 8

y = 4 - x                                        x^2 - 16 + 8x - x^2 = 8

y = 4-x                    x^2 Сокращается     8x = 8 + 16

y = 4 - x                                          8x = 24

y = 4 - x                                          x = 3

Так как из второго уравнения системы мы уже знаем, чему равен ноль - также подставляем.

y = 4 - 3                                          x = 3

y = 1                 x=3

Преобразуем левую часть:


Далее:

Таким образом, получаем уравнение:

Теперь понятно, что можно ввести замену и продолжать решение уже дробно-рационального уравнения.

Советую запомнить приём, который я здесь употребил. Он состоит вот в чём.
Мы помним формулу сокращённого умножения:

Отсюда я могу легко выразить сумму квадратов:

Думаю, Вы уже догадались, что в нашем уравнении сыграло роль x, а что y.
Этот приём встречается очень часто в самых неожиданных ситуациях, так что рекомендую запомнить его.
Уравнение можно было решить и по формулам понижения степени(правда, это значительно было бы сложнее). Но в целом, можно рассмотреть и такой вариант, но я показал проще.

Делаем замену:

После замены получаем:

Умножаем обе части уравнения на 8t(с дробями работать крайне неудобно, да и t в знаменателе нам ни к чему - просто запомним, что он должен быть отличным от 0, а потом проверим это):


Решаем квадратное уравнение(кстати, t уже отличен от 0. В этом можно убедиться прямой подстановкой)
- этот корень не удовлетворяет нашему уравнению.
Следовательно, возвращаясь к переменной x, получаем простейшее уравнение:

Отсюда

Это и есть ответ. Напомню, что при решении простейшего уравнения я использовал формулу понижения степени, а в конечном результате n - целое число.