Окружность касается стороны ab треугольника abc - вопрос №212280390 от Йцвсмпнремьливвьс 10.12.2022 19:50

Question

Алгебра: Окружность касается стороны ab треугольника abc ,у которого угол c=90градусам и продолжений его сторон ac и bc за точки a и b соответственно.докажите ,что периметр треугольника abc равен диаметру этой окружности

Йцвсмпнремьливвьс · Answer

Пусть наш треугольник ABC

угол

(см рисунок).
Заметим сразу что касательные d+x=e+y

, так как они проведены с одной точки С и по теореме они равны , равны так же касательные прямая которая является частью гипотенузы, по условию нужно доказать то что
$d+e+\sqrt{d^2+e^2}=2R\\ 
 R=d+x=e+y\\
\\
d+e+\sqrt{d^2+e^2}=2(d+x)\\
d+e+\sqrt{d^2+e^2}=2d+2x\\
e+\sqrt{d^2+e^2}=d+2x\\
$
так как d+x=e+y

$e+\sqrt{d^2+e^2}=d+2x\\
\sqrt{d^2+e^2}-2x=d-e\\
\sqrt{d^2+e^2}-2x=y-x\\
\sqrt{d^2+e^2}=y+x\\
$ так как было ранее сказано , то что касательные равны , то x+y

это есть гипотенуза , и $\sqrt{d^2+e^2}$ тоже следовательно ч.т.д