{x-y=12
1/x+1/y=1/8
{x=12+y
1/x+1/y=1/8

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями функций у = х^2, у = 0 и х = 2 построим сначала графики этих функций. График функции у = 0 - прямая, которая задаёт ось ОХ; график функции х = 2 - прямая, параллельная оси ОУ и пересекающая ось ОХ в точке х =2. График функции у = х^2 - парабола, построена поточечно путём подбора значений координаты х и вычислением значения функции у в каждой такой точке. То есть:

1) х = -4, у = (-4)^2 = 16, на графике откладываем точки х = -4 и у = 16;

2) х = -3, у = (-3)^2 = 9, на графике откладываем точки х = -3 и у = 9;

3)х = -2, у = (-2)^2 = 4, на графике откладываем точки х = -2 и у = 4;

4)х = -1, у = (-1)^2 = 1, на графике откладываем точки х = -1 и у = 1;

5)х = 0, у = 0, на графике откладываем точки х = 0 и у = 0;

6)х = 4, у = 4^2 = 16, на графике откладываем точки х = 4 и у = 16;

7) х = 3, у = 3^2 = 9, на графике откладываем точки х = 3 и у = 9;

8)х = 2, у = 2^2 = 4, на графике откладываем точки х = 2 и у = 4;

9)х = 1, у = 1^2 = 1, на графике откладываем точки х = 1 и у = 0.

Заштрихованная на графике область является фигурой, площадь которой необходимо вычислить (площадь криволинейной трапеции). Вычисляется она по формуле определенного интеграла S = ∫f(x) dx - g(x) dx (верхний предел b, нижний предел a). Найдём верхний и нижний пределы интеграла. Для этого воспользуемся построенным графиком. Определим, на каком промежутке функция у = х^2 находится выше оси ОХ (так как значение площади не может быть числом отрицательным). Это отрезок [0;2], значит верхним пределом интеграла будет два (b = 2), нижним ноль (а = 0).

Вычислим определенный интеграл функции у = х^2 с пределами 2 и 0, значение которого и будет равно значению площади:

S = ∫(х^2)dx (верхний предел 2, нижний 0).

Интегрируем с формулы интегрирования:

∫х^ n dx = x^(n+1) / n+1,

и получаем выражение х^3/3.

Далее воспользуемся формулой Ньютона - Лейбница и получим значение площади, равное 8/3 или ~ 2,67 кв.ед.

ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2, х = 2, у= 0 равна 8/3 или ~ 2,67 кв.единиц.

Подробнее - на -

1)
 1 - 16y^2 = 0 
- 16y^2 = - 1 
16y^2 = 1
y^2 = 1/16
y = ± √(1/16)
y = ± 1/4

2)
- y^2 + 8 = 0 
- y^2 = - 8 
y^2 = 8 
y = ± √8
y = ± 2√2

3)
x^2 - 8x + 15=0
D = 64 - 4*15 = 4
x1 = ( 8 + 2)/2 = 10/2 = 5;
x2 = ( 8 - 2)/2 = 6/2 = 3;

4)
2x^2 + 3 x + 1 = 0
D = 9 - 4*2  = 1 
x1 = ( - 3 + 1)/4  = - 2/4 = - 1/2;
x2 = ( - 3 - 1)/4 = - 4/4 = - 1 
наиб  - 1/2

5)
 4x^2 - 7x + 3 = 0
D = 49 - 4*4*3 = 49 - 16*3 = 1
x1 = ( 7 + 1)/8 = 1
x2 = ( 7 - 1)/8 = 6/8 = 3/4 

6)
x^2 - 17x + 42 = 0
D = 289 - 4*42 = 121
x1 = ( 17 + 11)/2 = 14
x2 = ( 17  - 11)/2 = 3
x1 + x2 = 17 

7) условие ошибка ??

8) 
x^2 + 9x = - 14
 x^2 + 9x + 14 = 0 
(x + 7) * (x + 2) = 0 
x = - 7
x = - 2 
x1 * x2 = 14

9)
1+4y=5y^2 
5y^2 - 4y  - 1 = 0 
D = 16 + 20 = 36
y1 = ( 4 + 6)/10 = 1
y2 = ( 4 - 6)/10 = - 2/10 = - 1/5 

10)
 (x+3)^2-16=(1-2x)^2
x^2 + 6x + 9 - 16 = 4x^2 - 4x + 1 
x^2 + 6x  - 7 = 4x^2 - 4x + 1
x^2 - 4x^2 + 6x + 4x - 7 - 1 = 0 
- 3x^2 + 10x - 8 = 0 
3x^2 - 10x + 8 = 0 
D = 100 - 96 = 4
x1 = ( 10  +2)/6 = 2 
x2 = ( 10 - 2)/6 = 8/6 = 4/3