3^x+2^x=5^x решить уравнение - вопрос №21079281325 от kayryakdmitriyp075gy 14.02.2021 01:17

Question

Алгебра: 3^x+2^x=5^x решить уравнение

kayryakdmitriyp075gy · Answer

Корень x=1 угадывается сразу. Покажем, что других корней нет. Для этого можно было бы изучить функцию 3^x+2^x-5^x , но она не является монотонной. Вместо этого поделим уравнение на 5^x , получив $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x} = 1$ , после чего изучим функцию $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x} - 1$ . Она уже очевидно монотонна (как сумма монотонно убывающих), а потому и решение может быть только одно.

Показать это можно и просто вычислив производную: $(3/5)^x\ln(3/5) = -(2/5)^x\ln(2/5) \Rightarrow (3/2)^x = -\dfrac{\ln(2/5)}{\ln(3/5)}$ .