Дана система уравнений: {x² + xy + x + y = -2
{y² + xy + x + y = 1.
Сгруппируем: {х(x + y) + (x + y) = (х + у)(х + 1) = -2
{у(y + x) + (x + y) = (х + у)(у + 1) = 1.
Разделим второе уравнение на первое.
(у + 1)/(х + 1) = -1/2.
2у + 2 = -х - 1
х = -2у - 3 = -(2у + 3).
Вычтем из второго начального уравнения первое.
у² - х² = 3. Подставим вместо х его значение, полученное выше.
у² - 4у² - 12у - 9 = 3.
Получаем квадратное уравнение 3у² + 12у + 12 = 0, или, сократив на 3:
у² + 4у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:
D=4^2-4*1*4=16-4*4=16-16=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-4/(2*1)=-2.
Отсюда х = -(2*(-2) + 3) = 1.
ответ: х = 1, у = -2.
Нахождение области определения функции в данном случае сводится к решению неравенства. Так как сама функция представляет собой радикал четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:
(2-x)*(x^2 - 9) ⩾ 0.
Для удобства заменим (2-х) на (х-2), изменим знак неравенства на противоположный, и разложим x^2 - 9 = (x-3)*(x+3). Получаем:
(x-2)*(x-3)*(x+3) ⩽ 0.
Это неравенство решаем методом интервалов: разбиваем числовую прямую нулями на интервалы и смотрим значение выражения на каждом из них. Выбираем отрицательные и записываем ответ. Решение во вложении.
ответ: D(y) = (-∞; -3]⋃[2; 3].
