В решении.
Объяснение:
1.
1) 3⁷ * 3⁵ = 3⁷⁺⁵ = 3¹²;
2) 4⁹ : 4⁶ = 4⁹⁻⁶ = 4³;
3) (2²)³ = 2²*³ = 2⁶;
4) 3⁷ * 5⁷ = 15⁷;
5) (а³)⁴ * а² = а³*⁴ * а² = а¹² * а² = а¹²⁺² = а¹⁴.
2.
1) (4ху² - х + 2х²у) - (2ху² + 3х + 2х²у) = 2х(у² - 2);
Раскрыть скобки:
4ху² - х + 2х²у - 2ху² - 3х - 2х²у = 2a³ - 3b³.
привести подобные члены:
=2ху² - 4х = 2х(у² - 2);
2) 2a²(a + 3b) - 3b(2a² + b²) =
Раскрыть скобки:
2a³ + 6a²b - 6a²b - 3b³ =
привести подобные члены:
= 2a³ - 3b³.
3.
1) (-0,3m²x³y⁴) * (-1,5mx²y) =
=(-0,3)*(-1,5)m²⁺¹x³⁺²y⁴⁺¹ =
=0,45m³x⁵y⁵;
2) (2a/7 - 3b²)*(2a/7 + 3b²) =
здесь развёрнута разность квадратов, свернуть:
= (4a²/49 - 9b⁴);
3) (15а³х² + 5а⁴х) : (-5а³х) =
=5а³х(3х + а) : (-5а³х) =
сократить (разделить) (5а³х) и (-5а³х) на (-5а³х):
= -1*(3х + а)/1 = -3х - а.
4. (а² - 1)(а⁴ + а² + 1) - (а + а³)(а³ - а) = при а=0,15
раскрыть скобки:
=а⁶ + а⁴ + а² - а⁴ - а² - 1 - (а⁴ - а² + а⁶ - а⁴) =
раскрыть скобки:
=а⁶ - 1 - а⁴ + а² - а⁶ + а⁴ =
привести подобные члены:
= а² - 1 =
= 0,15² - 1 = 0,0225 - 1 = -0,9775.
5. (х - 1)(х + 2) - х(х + 3) = 3х - 1
Раскрыть скобки:
х² + 2х - х - 2 - х² - 3х = 3х - 1
Привести подобные члены:
х² + 2х - х - х² - 3х - 3х = -1 + 2
-5х = 1
х = 1/-5
х = -0,2.
Проверка путём подстановки вычисленного значения х в уравнение показала, что данное решение удовлетворяет данному уравнению.
Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецыДва простых числа, которые отличаются на 2, как
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
3, 5, 7.
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:
3 и 5,
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
29 и 31,
41 и 43,
59 и 61,
71 и 73.
С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:11 и 13,
17 и 19,
29 и 1;
по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплеты
Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
2, 3, 5 и 3, 5, 7.
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
p, p+2, p+6 или p, p+4, p+6
называется триплетом.
Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:
5, 7, 11;
7, 11, 13;
11, 13, 17;
13, 17, 19;
17, 19, 23;
37, 41, 43;
41, 43, 47;
67, 71, 73.
