, 1. Найдите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=−x³, касательной к этому графику в точке с абсциссой =−1 и прямой y=0.

2.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x+3; y=2; x=0; x=3.

Найти:
1) Промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение
функции  y=2x^2-x-6 на промежутке [-1;3];
График этой функции - парабола ветвями вверх.
Надо найти её вершину Хо = -в/2а = 1/4.
Уо = 2*(1/16)-(1/4)-6 = -98/16 = -6(1/8). Это минимальное значение.
Максимум - ∞.

Промежутки выпуклости функции  y=2x^2-x-6 на промежутке [-1;3].
У параболы выпуклость только одна - в сторону вершины.
Для данной - выпуклость вниз.

2) Промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение;
 функции y=3x^2-x^3 на промежутке [-1;1].
Находим производную функции: y' = -3x² + 6x и приравняем её нулю:
-3х(х-2) = 0.
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Это точки определяют 3 промежутка знака производной функции.
Где производная положительна - там функция возрастающая, где отрицательна - там функция убывающая.
x =                     -1      0     1       2       3
y' = -3x² + 6x     -9      0     3       0       -9.
Функция возрастающая: х ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞).
Функция убывающая: х ∈ (0; 2).

Промежутки выпуклости функции y=3x^2-x^3 на промежутке [-1;1].
Находим вторую производную y'' = -6x + 6.
-6(x - 1) = 0.
Точка перегиба х = 1.
х =      0       2
y'' =     6      -6.
Функция выпукла вниз: х ∈ (-∞; 1).
Функция выпукла вверх: х ∈ (1; +∞).

Во слишком много - ответы тоже краткие.

Объяснение:

1,1  f(-6) = 1/3*36 +12 = 24 - ответ.

1.2 f(2) = 1/3*4 - 2*2 = - 2 2/3 - ответ

2. Не допускается деление на 0.

Дано: y =x²-1*x-6 - квадратное уравнение.

Вычисляем дискриминант - D.

D = b² - 4*a*c = (-1)² - 4*(1)*(-6) = 25 - дискриминант. √D = 5.

Вычисляем корни уравнения.

x₁ = (-b+√D)/(2*a) = (1+5)/(2*1) = 6/2 = 3 - первый корень

x₂ = (-b-√D)/(2*a) = (1-5)/(2*1) = -4/2 = -2 - второй корень

3 и -2 - корни уравнения - исключить из ООФ.

D(f) = R\{-2;3} = (-∞;-2)∪(-2;3)∪(3;+∞) - ответ

3,1

Дано: y = x²-4*x+3 - квадратное уравнение.

D = b² - 4*a*c = (-4)² - 4*(1)*(3) = 4 - дискриминант. √D = 2.

Вычисляем корни уравнения.

x₁ = (-b+√D)/(2*a) = (4+2)/(2*1) = 6/2 = 3 - первый корень

x₂ = (-b-√D)/(2*a) = (4-2)/(2*1) = 2/2 = 1 - второй корень

3 и 1 - нули функции.

Минимум посередине между нулями = (1+3)/2 = 2 = x.

Fmin(2) = -1

Вершина параболы в точке А(2;-1), ветви вверх.

1) E(f) = [-1;+∞) - область значений.

2) Убывает: х = (-∞;2)

3) Положительна при Х=(-∞;1)∪(3;+∞) - ответ

4) Графики на рисунке в приложении.

5) Разрывы при делении на 0 в знаменателе.

х² ≠ 16 и х ≠ ± 4.

D(f) = R\{-4;4} = (-∞;-4)∪(-4;4)∪(4;+∞) - ответ.