ХЕЛ алгебраический метод сложения закрепила

№1

f(x)=2x^2/(1+x^2)

1) D(y)=(-беск;+беск)
2) f(-x)= 2(-x)^2/(1+(-x)^2)=2x^2/(1+x^2)=f(x) => четная
    f(x+T)=2(x+T)^2/(1+(x+T)^2) не равно f(x) => непериодичная
3) C осью Ох:

y=2*0/(1+0)=0/1=0
(0;0)

C осью Оy:

2x^2/(1+x^2)=0
2x^2=0
x=0
(0;0)

4) y=0, если x=0
y>0, если x не равен 0
y<0 нет

5) f'(x) = (4x(1+x^2) - 2x^2*2x)/(1+x^2)^2 = (4x+4x^3-4x^3)/(1+x^2)^2=4x/(1+x^2)^2=0
4x=0
x=0
    -           +
-----(0)----->x => x=0 - точка минимума

6) lim(2x^2/(1+x^2)) (x--->беск) = lim(2/(1/x^2 + 1)) (x--->беск) = 2/(0+1)=2
y=2 - горизонтальная асимптота
вертикальных асимптот нет.

7) Смотрите вложение №1

8) Е(y) = [0;2)

№2

f(x)=x/(1-x^2)

1) D(y) = (-беск;-1)U(-1;1)U(1;+беск)
2) f(-x) = -x/(1-(-x)^2)=-x/(1-x^2)=-f(x) => функция нечетная
непериодиная
3) С осью Ох:

y=0/(1-0)=0/1=0
(0;0)

C осью Oy:

x/(1-x^2)=0
x=0
(0;0)

4) y=0, если x=0
y>0, если x=(-беск;-1)U(0;1)
y<0, если x=(-1;0)U(1;+беск)

5) f'(x)= (1-x^2 - x*(-2x))/(1-x^2)^2 = (1-x^2+2x^2)/(1-x^2)^2 = (1+x^2)/(1-x^2)^2 = 0
1-x^2=0
x^2=1
x=+-1
   +           +             +
----(-1)-------(1)------>  => функция возрастает на всей области определния

6) вертикальные асимптоты: x=-1; x=1

lim(x/(1-x^2)) (x--->беск) = lim((1/x)/(1/x^2-1)) (x---->беск) = 0/(0-1) = 0
y=0 - горизонтальная асимптота

7) Смотрите вложение №2

8) Е(y)=(-беск;+беск) 

Решение
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки (скорость лодки в стоячей воде - по озеру), тогда скорость моторной лодки по течению реки составит х+3 км/ч. По течению реки лодка проплыла 6 км, затратив на весь путь t(время)=S(расстояние):v(скорость) = часов. Затем по озеру лодка км, затратив на весь путь часа. Всего 1 час.
Составим и решим уравнение:
+ =1*х(х+3)
+ =1*x(x+3)
6х+10(х+3)=х²+3х
6х+10х+30-х²-3х=0
-х²+13х+30=0
х²-13х-30=0
D=b²-4ac=(-13)²-4*1*(-30)=169+120=289 (√D=17)
х₁==15
х₂= =-2 - не подходит, поскольку х<0
ОТВЕТ: по озеру лодка шла со скоростью 15 км/ч.
------------------
Проверка:
6 км:(15+3) км/ч = 6:18= часа - по течению реки.
10 км: 15 км/ч = часа - по озеру.
ч + ч = ч = 1 час