Задание 1

Треугольник задан вершинами А(-3; -3), B(-4; 5), C(3; 1). Выполнить чертеж.

1) Составить уравнения сторон треугольника;

2) Составить уравнение медианы BD;

3) Найти угол наклона прямой АС к оси Ох.

Задание 2

Привести уравнение прямой к каноническому виду l: 2x + 3y – 18 = 0

Задание 3

Точка, двигаясь прямолинейно через положения А(-1; 6),

В(3; -2). В каких точках она пересечет оси координат?

Задание 4

Вычислить длину отрезка прямой l: 3x – 4y + 12 = 0, заключенного между осями координат.

Задание 5

На прямой l: 2x – 3y + 6 = 0 найдите точку М, равноудаленную от точек А(3; 0), В(5; 2).

Задание 1:
1) Для составления уравнений сторон треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно найти по формуле:

(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)

a) Уравнение стороны AC:
(x - (-3)) / (3 - (-3)) = (y - (-3)) / (1 - (-3))
(x + 3) / 6 = (y + 3) / 4
4(x + 3) = 6(y + 3)
4x + 12 = 6y + 18
4x - 6y = 6

b) Уравнение стороны AB:
(x - (-4)) / (3 - (-4)) = (y - 5) / (1 - 5)
(x + 4) / 7 = (y - 5) / (-4)
-4(x + 4) = 7(y - 5)
-4x - 16 = 7y - 35
-4x - 7y = -19

c) Уравнение стороны BC:
(x - (-4)) / (3 - (-4)) = (y - 5) / (1 - 5)
(x + 4) / 7 = (y - 5) / (-4)
-4(x + 4) = 7(y - 5)
-4x - 16 = 7y - 35
-4x - 7y = -19

2) Чтобы составить уравнение медианы BD, необходимо найти координаты точки D - середины стороны AC.
Координаты середины между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) могут быть найдены по формуле:

D( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )

D( (-3 + 3) / 2 , (-3 + 1) / 2 )
D( 0 , -1 )

Теперь, используя найденные координаты точки D(0, -1), мы можем составить уравнение прямой BD с помощью формулы, как и в задании 1a):

(x - 0) / (3 - 0) = (y - (-1)) / (1 - (-1))
x / 3 = (y + 1) / 2
2x = 3(y + 1)
2x = 3y + 3
3y - 2x = -3

3) Чтобы найти угол наклона прямой АС к оси Ох, мы можем воспользоваться формулой:

угол наклона = arctg( (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) )

Угол наклона прямой AC будет равен:

угол наклона = arctg( (1 - (-3)) / (3 - (-3)) )
угол наклона = arctg( 4 / 6 )
угол наклона ≈ 33.69 градусов

Задание 2:

Для приведения уравнения прямой к каноническому виду, нужно перенести все члены с переменными на одну сторону, оставив только число в правой части равенства.

l: 2x + 3y - 18 = 0

Перенесем 18 на другую сторону:

2x + 3y = 18

Уравнение прямой l в каноническом виде будет:

2x + 3y - 18 = 0

Задание 3:

Чтобы найти точки пересечения прямолинейного движения точки через положения А(-1, 6) и В(3, -2) с осями координат, нужно использовать следующую логику:

Точки, лежащие на оси Ох, имеют y-координату равную нулю, поэтому мы можем найти координаты точки пересечения с осью Ох, подставив y = 0 в уравнение прямой и решив его относительно x.

Мы запишем уравнение прямой, используя формулу из задания 2:

2x + 3y - 18 = 0

Подставим y = 0:

2x + 3(0) - 18 = 0
2x - 18 = 0
2x = 18
x = 9

Таким образом, точка пересечения с осью Ох имеет координаты (9, 0).

Аналогично, чтобы найти точку пересечения прямолинейного движения точки с осью Оу, нужно y-координату приравнять к нулю:

2x + 3y - 18 = 0

Подставим x = 0:

2(0) + 3y - 18 = 0
3y - 18 = 0
3y = 18
y = 6

Таким образом, точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0, 6).

Задание 4:

Длина отрезка прямой, заключенного между осями координат, можно найти, используя формулу для расстояния между двумя точками:

r = sqrt( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² )

Так как мы ищем длину отрезка прямой между точкой пересечения с осью Ох и точкой пересечения с осью Оу, мы можем найти эти точки, подставив y = 0 и x = 0 в уравнение прямой.

l: 3x - 4y + 12 = 0

a) Точка пересечения с осью Ох:
3x - 4(0) + 12 = 0
3x + 12 = 0
3x = -12
x = -4

Точка пересечения с осью Ох имеет координаты (-4, 0).

b) Точка пересечения со осью Оу:
3(0) - 4y + 12 = 0
-4y + 12 = 0
-4y = -12
y = 3

Точка пересечения со осью Оу имеет координаты (0, 3).

Теперь, используя найденные координаты (0, 3) и (-4, 0), мы можем найти длину отрезка:

r = sqrt( (0 - (-4))² + (3 - 0)² )
r = sqrt( 4² + 3² )
r = sqrt( 16 + 9 )
r = sqrt( 25 )
r = 5

Таким образом, длина отрезка прямой l, заключенного между осями координат, равна 5.

Задание 5:

Чтобы найти точку М, равноудаленную от точек А(3, 0) и B(5, 2), нужно сначала найти середину отрезка между этими точками. Затем, используя найденные координаты точки, мы составим уравнение прямой, перпендикулярной прямой l: 2x – 3y + 6 = 0 и проходящей через найденную точку.

a) Найдем середину отрезка AB.
Координаты середины между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) могут быть найдены по формуле:

M( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )

M( (3 + 5) / 2 , (0 + 2) / 2 )
M( 8 / 2 , 2 / 2 )
M( 4 , 1 )

Теперь мы знаем, что точка M имеет координаты (4, 1).

b) Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку (4, 1), мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1) Уравнения двух перпендикулярных прямых имеют отношение коэффициентов исходных уравнений -k₁/k₂ = 1/k, где k₁ и k₂ - коэффициенты при x и y исходного уравнения, а k - коэффициент при x и y в уравнении искомой перпендикулярной прямой.

2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x₀, y₀) и имеющей коэффициент k, может быть записано в виде:

y - y₀ = k(x - x₀)

Уравнение прямой l: 2x – 3y + 6 = 0 имеет коэффициент k = -2/3. Таким образом, коэффициент уравнения перпендикулярной прямой будет равен k' = 3/2.

Используя координаты точки M(4, 1), мы можем составить уравнение искомой перпендикулярной прямой:

y - 1 = (3/2)(x - 4)
y - 1 = (3/2)x - 6
y = (3/2)x - 5

Таким образом, уравнение прямой М, равноудаленной от точек А(3, 0) и B(5, 2), будет y = (3/2)x - 5.