Доведіть тотожність: 1) (3a – 5b)(a^2 + 2ab – 4b^2) – (3a – 5b)(a^2 + 2ab – 7b^2) = 3b^2(3a – 5b);
2) (2a - 1)(6b^2 + 3b - 8) + (1 – 2a)(6b^2 + 3b – 10) = 4a – 2. *

4ⁿ + 6n - 10
При n = 1 имеем 4 + 6 - 10 = 10 - 10 = 0. Кратность подтверждается. Пусть 4ⁿ + 6n - 10 кратно 18. Докажем, что и 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 кратно 18. Составим разность: 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 - (4ⁿ + 6n - 10) = 4*4ⁿ + 6n + 6 - 10 - 4ⁿ - 6n + 10 = 4*4ⁿ - 4ⁿ + 6 = 3*4ⁿ + 6 = 3(4ⁿ + 2). Покажем, что 4ⁿ + 2 кратно 6. При n = 1 имеем 4 + 2 = 6. Кратность подтверждается. Пусть 4ⁿ + 2 кратно 6. Докажем, что и 4ⁿ⁺¹ + 2 кратно 6. Вновь составляем разность 4ⁿ⁺¹ + 2 - 4ⁿ - 2 = 4*4ⁿ - 4ⁿ = 4ⁿ(4 - 1) = 3*4ⁿ = 3*2²ⁿ = 6*2²ⁿ⁻¹. Это выражение кратно 6, значит и 4ⁿ⁺² кратно 6. Значит разность 4ⁿ⁺¹ + 6(n + 1) - 10 - (4ⁿ + 6n - 10) = 3(4ⁿ + 2) = 3*6*2²ⁿ⁻¹ = 18*2²ⁿ⁻¹ кратна 18, а значит и выражение 4ⁿ + 6n - 10 кратно 18.

Треугольник AMN-прямоугольный, и так как угол ANM=60 градусов,то угол MAN=30град. Катет противолежащий углу 30 град равен половине гипотенузы,т.е. MN=1/2AN; 6=1/2AN; AN=12. Теперь рассмотрим треугольник АВС. MN пересекает середины сторон треугольника АВС,поэтому сторона АВ=2AN=2*12=24. А угол ВАС равен 30 град,значит катет противолежащий 30 град равен половине гипотенузы,т.е. СВ=12. По теореме Пифагора найдем АС. AC^2=AB^2-CB^2
AC^2=576-144=432; AC=sqrt432
MN делит сторону АС попалам,а значит АМ=МС=sqrt432:2=sqrt216
Рассмотрим треугольник МВС-прямоугольный. По теореме Пифагора найдем сторону МВ. MB^2=MC^2+CB^2; MB^2=216+144=360; MB=sqrt360=6sqrt10