Замечаем, что при х=1
1+1-4-2+4=0
0=0 - верно, значит х=1 является корнем уравнения и можно разложить левую часть на множители, один из которых уже известен - это (х-1).
x⁴+x³-4x²-2x+4=(x-1)(x³+ax²+bx+c)
Наша задача найти коэффициенты а,b и с.
Раскроем скобки справа
x⁴+x³-4x²-2x+4=x⁴+ax³+bx²+cx-x³-ax²-bx-c;
x⁴+x³-4x²-2x+4=x⁴+(a-1)x³+(b-a)x²+(c-b)x-c;
Два многочлена равны, если степени этих многочленов одинаковые, и коэффициенты при соответствующих степенях равны.
a-1=1 ⇒ a=2
b-a=-4 ⇒ b=a-4=2-4=-2
c-b=-2 ⇒ c=b-2=-2-2=-4
-c=4 ⇒ c=-4
Поэтому
x⁴+x³-4x²-2x+4=(x-1)(x³+2x²-2x-4)
Уравнение принимает вид:
(x-1)(x³+2x²-2x-4)=0
х-1=0 или x³+2x²-2x-4=0
х=1 х²(х+2)-2(х+2)=0
(х+2)(х²-2)=0
х+2=0 или х²-2=0
х=-2 х=-√2; х=√2
О т в е т. -2; -√2; 1; √2 - корни уравнения
Можно было получить многочлен х³+ax²+bx+c поделив многочлен
на двучлен (х-1) " углом"
_x⁴ + x³ - 4x² - 2x + 4 |x-1
x⁴ - x³ x³+2x²-2x-4
_2x³ - 4x² - 2x + 4
2x³ -2x²
_-2x² - 2x + 4
-2x² + 2x
_- 4x + 4
- 4x + 4
0
