График уравнения ρ=2cos3φ - трехлепестковая роза
График уравнения ρ=1- окружность радиуса 1
Находим точки пересечения кривых:
2cos3φ=1
cos3φ=1/2
3φ=±(π/3)+2πk, k∈Z
φ=±(π/9)+(2π/3)k, k∈Z
Так как по условию ρ≥1- это внешняя часть круга.
Область состоит из трех одинаковых областей.
Находим площадь одной на участке от (-π/9) до (π/9)
и умножаем на три:
S=3·∫^(π/9)_(-π/9) (1/2)(cos²3φ-1²)dφ=(3/2)∫^(π/9)_(-π/9)((1+cos6φ)/2 - 1)dφ=
=(3/4))∫^(π/9)_(-π/9)((cos6φ - 1)dφ=
=(3/4)*((sin6φ/6)-φ)|^(π/9)_(-π/9)=
=(3/24)·(sin(6π/9)-sin(-6π/9))-(3/4)·((π/9)-(-π/9))=
=(3/24)·(sin(2π/3)-sin(-2π/3))-(3/4)·(2π/9)=
=(3/24)·((√3)/2+(√3)/2)-(6π/36)=
=(√3)/8-(π)/6
О т в е т. (√3)/8-(π)/6
