Пример 1
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y' = (arcsin x)'=
1
√
1-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin(-1)=-
π
2
maxx∈[-1; 1]arcsin x=arcsin 1=
π
2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
].
ответ: E(arcsin x)=[-
π
2
;
π
2
