x1 = cos(π/9)
x2 = cos(5π/9)
x3 = cos(7π/9)
Объяснение:
Предположим, что x > 1
Тогда
x^3 > x
x^3 - x > 0
6x^3 -6x > 0
Таким образом:
8x^3 -6x - 1 = 2x^3 + 6x^3 - 6x - 1 >= 2x^3 - 1 > 0
Если же x < - 1, то x^3<-1
6x^3 - 6x < 0
8x^3 -6x - 1 = 2x^3 + 6x^3 - 6x - 1 <= 2x^3 - 1 < 0
Как видим, если действительное решение существует, то оно принадлежит интервалу:
1<=x<=-1
То есть можно сделать замену:
x = cost
При этом достаточно рассмотреть интервал:
0<=t <= π
8х^3 – 6х – 1 =0
2(4x^3 - 3x) - 1 = 0
2*(4cos^3(t) - 3cos(t) ) - 1 = 0
Заметим, что:
4cos^3(t) - 3cos(t) = cos(3t)
Откуда получаем:
2cos(3t) - 1 = 0
cos(3t) = 1/2
3t = +-π/3 +2πn
t = +-π/9 +2πn/3, где n∈Z
0<=+-π/9 +2πn/3<= π
0 <=6n +- 1 <= 9
Подойдет n = 0 и n = 1
При n = 0 подойдет решение:
t1 = π/9
Откуда:
x1 = cos(t1) = cos(π/9) ≈ 0,94
При n = 1 имеем еще два решения:
t2 = - π/9 + 2π/3 = 6π/9 - π/9 = 5π/9
x2 = cos(5π/9) ≈ - 0.17
t3 = π/9 + 2π/3 = 6π/9 + π/9 = 7π/9
x3 = cos(7π/9) ≈ - 0,77
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(х² – xy + y²)³ + (х² + xy + y²)³ = ((х² – xy + y²) + (х² + xy + y²))((х² – xy +y²)² - (х² – xy +y²)(х² + xy +y²) + (х² + xy +y²)²) = (2х² + 2y²)((х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)²)
(2х² + 2y²) ≥ 0
x² + y² = a
xy = b
(х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)² = (a - b)² - (a - b)(a + b) + (a + b)² = a² - 2ab + b² - a² + b² + a² + 2ab + b² = a² + 3b² = (x² + y²)² + 3x²y² ≥ 0
произведение 2-х неотрицательных чисел
число неотрицательное
доказано
